中

考

【资料图】

2021

备考

难度系数

★★★★☆

江苏镇江模拟

如图,AB=6,点O在线段AB上,AO=2,⊙O的半径为1,点P是⊙O上一动点,以BP为一边作等边△BPQ,则AQ的最小值为 .

解法分析

瓜豆原理：

∵两动点(P、Q)到定点(B)的距离比是定值(1)，夹角是定角(60°)，

∴两动点的运动路径相同，

即：点Q的运动路径是圆.

间接求法：

点P(主动点)→点Q(从动点)，点C(主定点)→点A(从定点)，只要找到点C，即可将AQ转化为CP.将点A绕点B逆时针旋转60°即可找到点C，连接CP、CA.

主要步骤：

①△PBQ和△CBA都是等边三角形；【左图】

②根据SAS证明△ABQ≅△CBP，AQ=CP；【中图】

③连接CO交圆O于点P，此时CP取得最小值，

④在△OBC中，OB=AB-AO=4，BC=AB=6，∠OBC=60°，

作OD⊥BC于点D，易求得BD=2，OD=2(√3)，

∴CD=BC-BD=4，

∴OC=2(√7)，

∴CPmin=OC-OP=2(√7)-1,【右图】

即：AQ的最小值为2(√7)-1.

动态演示：

直接求法：

因为点Q的运动路径是圆，所以只要找到圆心和半径，即可确定点Q的运动轨迹，再利用点圆最值可直接求出AQ的最小值.

如图所示：记圆O于AB交于C、D两点，

①当P、D重合时，以BD为一边作等边△BDQ1；当P、C重合时，以BC为一边作等边△BCQ2；

②∵主动点P从点D运动到点C，路径为半圆，

∴从动点Q从点Q1运动到点Q2，路径也是半圆，

∴以Q1Q2的中点O"为圆心，O"Q1的长为半径画圆O"，圆O"即为点Q的运动路径.【左图】

③∵∠DBQ1=∠CBQ2=60°，

∴点B、Q1、Q2三点共线，

④连接AO"交圆O"于点Q，此时AQ取得最小值，

⑤在△O"AB中，O"B=BQ2-O"Q2=BC-1=4，AB=6，∠B=60°，

作O"E⊥AB于点E，易求得BE=2，O"E=2(√3)，

∴AE=AB-BE=4，

∴O"A=2(√7)，

∴AQmin=O"A-O"Q=2(√7)-1,【右图】

即：AQ的最小值为2(√7)-1.

动态演示

END