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一、题文

人们认为某些白矮星（密度较大的恒星）每秒大约自转一周．（万有引力常量，地球半径R约为） 1为使其表面上的物体能够被吸引住而不致由于快速转动被“甩”掉，它的密度至少为多少．2假设某白矮星密度约为（1）中所求值，且其半径等于地球半径，则它的第一宇宙速度约为多少．

二、解答

【答案】<script id="MathJax-Element-2090" type="math/tex">1.41\times {{10}^{11}}\text{kg}/{{\text{m}}^{3}}</script>4．02\times {{10}^{7}}\operatorname{\text{m}}/\text{s} 【解析】由于白矮星表面的物体随着它自转做圆周运动的角速度相同，而赤道上的物体圆周运动的半径最大，所需的向心力最大，最容易被甩掉，只要保证赤道上的物体不被甩掉，其他物体就不会被甩掉．假设赤道上的物体刚好不被甩掉，则白矮星对物体的万有引力恰好提供物体随白矮星转动的向心力．设白矮星质量为M，半径为r，赤道上物体的质量为m，则有G\frac{Mm}{{{r}^{2}}}=m\frac{4{{ \pi }^{2}}}{{{T}^{2}}}r，白矮星的质量为M=\frac{4{{ \pi }^{2}}{{r}^{3}}}{G{{T}^{2}}}，白矮星的密度为\rho =\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{{ \pi }^{2}}{{r}^{3}}}{G{{T}^{2}}}}{\frac{4}{3} \pi {{r}^{3}}}=\frac{3 \pi }{G{{T}^{2}}}=\frac{3\times3.14}{6.67\times {{10}^{-11}}\times {{1}^{2}}}\text{kg}/{{\text{m}}^{3}}=1.41\times {{10}^{11}}\text{kg}/{{\text{m}}^{3}}．所以要使物体不被甩掉，白矮星的密度至少为1.41\times {{10}^{11}}\text{kg}/{{\text{m}}^{3}}． 白矮星的第一宇宙速度，就是物体在万有引力作用下沿白矮星表面绕它做匀速圆周运动的速度，则G\frac{Mm}{{{R}^{2}}}=m\frac{{{v}^{2}}}{R}，白矮星的第一宇宙速度为v=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{\frac{{{G}_{\rho }}\centerdot \frac{4}{3} \pi {{R}^{3}}}{R}}=\sqrt{\frac{4}{3} \pi {{G}_{\rho }}{{R}^{2}}}=4.02\times {{10}^{7}}\text{m}/\text{s}$．

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